ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
ПНЕВМОМОТОРА
Раевская Л.Т. (УГЛТУ, г .Екатеринбург, РФ) raevskaya@usfeu.ru
USING OF INDEFINITE MULTIPLIERS LA
GRANGE METHOD TO
SOLVE THE PNEUMOTOR RATIONALIZATION PROBLEM
Величина напряжения вдоль оси
поршня пневмомотора ДАР 14М на порядок превышает
среднее значение [1]. Одна из основных причин этого - появление деформации изгиба
из-за внецентренного сжатия. Для уменьшения
деформации изгиба предусмотрен такой конструктивный элемент поршня, как ребро
жесткости. В поршне пневмомотора ДАР-14М длина ребра
жесткости 60 мм, сечение, перпендикулярное оси
ребра, имеет геометрическую форму трапеции с верхним основанием
а = 8 мм, нижним основанием b
= 16 мм. Высота трапеции h
= 15 мм (рис.1, 2).
Рис.1. Модель поршня. В нижней части между опорами под поршневой палец - ребро жесткости.
Ранее было показано, что
параметры ребра жесткости не оптимальны [1]. Изменение параметров сечения ребра
жесткости может приводить к уменьшению характеристик напряженно-деформированного
состояния (НДС) от 4-5% (упругие деформации, абсолютные смещения точек) до 10-15% (напряжение). Для окончательного
решения задачи поиска формы и параметров сечения ребра жесткости исследуем целевую
функцию - в нашем случае нормальное напряжение вдоль оси поршня. Воспользуемся методом неопределенных
множителей Лагранжа, который особенно эффективен при числе переменных три и
менее [2]. В данном расчете целевая функция зависит от двух параметров – размеров верхнего и нижнего оснований
трапеции. Эти параметры выбраны в качестве переменных проектирования. Кроме
того, потребуем, чтобы масса ребра жесткости оставалась постоянной, равной исходной
массе в поршне пневмомотора ДАР-14М. Это налагает ограничения
на переменные проектирования: поскольку площадь сечения должна оставаться
постоянной, равной S = h (а
+ b)/2, то отсюда
следует, что ограничение в виде равенства имеет следующий вид (а + b – k) = 0. В полученном условии
связи значение k равно
24. Изменяя переменные проектирования, можно влиять на переменные состояния –
напряжения. Чтобы построить функцию
Лагранжа
L (X, X
,
=
( X
, X
) +
, (1)
где - неопределенный множитель Лагранжа, X
, X
- параметры, необходимо получить аналитическое
выражение для напряжения в сечении ребра жесткости. Известно, что напряжение
вычисляется по формуле
. (2)
Yc Z
Рис.2. Сечение ребра жесткости. Ус – расстояние от нижнего
основания трапеции до центра тяжести сечения - т. С, У- координата самой удаленной точки сечения от нейтральной
линии, Уо – координата точки приложения силы Р.
Здесь Р – равнодействующая внешних
сил, направленная по оси поршня, перпендикулярно
плоскости рис.2 на расстоянии Уо от точки С, - плечо силы Р относительно оси Z,
- координата самой удаленной от нейтральной линии точки
сечения,
- момент инерции сечения
относительно оси Z. В
данном расчете величина силы Р считается постоянной, а
Ус, У
, Уо, I
зависят от параметров a,b следующим образом:
Ус = h ( 2a + b)/3(a + b) ;
У = h – Ус = h(a + 2b)/3(a + b) ; (3)
Уо = d – Ус = (3d (a +b ) – h(2a
+ b))/3(a + b) ; (4)
I = h3 (a2 + 4ab + b2)/36(a + b), (5)
где d – расстояние от нижнего основания трапеции до оси поршня. Эта величина для двигателя ДАР -14М принимает значение равное 32,5 мм. Подставляя соотношения (3) – (5)
в формулу (2), получаем для максимального нормального напряжения вдоль оси поршня в самой удаленной от нейтральной линии точке сечения аналитическое выражение в виде
=
{1 + 2(a + 2b)[3d(a +
b) – h(2a + b)] /h(a2 + 4ab + b2)}. (6)
В силу симметрии задачи нейтральная линия пройдет параллельно основаниям трапеции Определим координату У нейтральной линии из соотношения (2). Получаем
У = - , откуда следует, что для У всегда
будет отрицательное значение, т.е. нейтральная линия располагается всегда ниже
центра тяжести сечения. Часть ребра жесткости над центром тяжести всегда –
сжата, независимо от вида трапеции. Возникает вопрос, при любых ли параметрах a,b сечения точки
именно верхнего основания будут самыми удаленными от нейтральной линии. При
величине a
b это так и будет. При значениях
а 16 мм самыми удаленными точками от нейтральной линии
оказываются точки нижнего основания. Ниже на графике показано изменение
расстояния (в мм) до центра тяжести для нескольких вариантов сечений: 1 –
сечение с параметрами а=b=12; 2- a=14, b=10; 3 – a=16,
b=8; 4 – a=18, b=8; 5 – a=20, b=4; 6 – a=22,
b=2. Для нашего
исследования рассмотрим напряжение в
виде соотношения (6).
Функция Лагранжа получается следующей (при условии h=15, d=32,5)
L(a, b, n)= 2P(1+ 2(2b+a)(67.5a+82.5b)/15(a2+4ab+b2))/15(a+b) + n(a+b-k). (7)
Для частных производных от функции Лагранжа (7) по а, b, n получены следующие выражения
∂ L
(a, b, n) /∂ a = (0.07(15na4 + 120nba3 – 20a2P
+ 270 a2nb2 – 92aPb + 120 anb3 – 164Pb2+
15nb4))/(a2+ 4ab + b2)2
∂ L
(a, b, n) /∂ b = (0.07(15na4 + 120nba3 – 34a2P
+ 270 a2nb2 – 40aPb + 120 anb3 – 46Pb2+
15nb4))/(a2+ 4ab + b2)2
∂ L
(a, b, n) /∂ n
= a + b – k.
Приравнивая эти производные нулю и решая систему уравнений,
получаем для параметров а и b, минимизирующих нормальное наибольшее напряжение значения
(округляя до целых величин) а =
Обсуждение результатов.
Таблица 1.
Характеристики напряженно-деформированного состояния (НДС) для двух видов
сечения ребра жесткости
a-b (мм) характе- ристики |
8- 16 |
20-4 |
% изменения |
Uy (10Е-05)м |
-0.437 |
-0.416 |
4.8 |
|
0.356 |
0.320 |
10.1 |
|
0.209 |
0.167 |
20.1 |
|
0.229 |
0.217 |
5.2 |
Для дальнейшего уточнения результатов необходимо рассмотреть сечение ребра жесткости вместе с корпусом поршня.
Библиографический список