Власов А.В.

 

(ВятГУ, г. Киров, РФ) artjomv@gmail.com

 

ВЛИЯНИЕ ТОЛЩИНЫ И ЧИСЛА ОБОРОТОВ КРУГЛОЙ ПИЛЫ

НА ЕЁ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

 

INFLUENCE OF THICKNNESS AND SPEED CIRCULAR SAW

TO HER NATURAL FREQUENCY

 

Требуемые технико–экономические показатели круглых пил в значительной степени определяются их работоспособностью. От работоспособности круглой пилы зависят энергозатраты, качество распиловки, потери древесины в опил. Потеря работоспособности пильного диска связана с потерей динамической устойчивости (изгибными колебаниями) при минимальной критической частоте вращения. Таким образом, каждая круглая пила с заданными параметрами имеет предельно допустимую частоту вращения. Превышение предельно допустимой частоты вращения вызывает значительное отклонение пилы от плоского состояния, что приводит к ухудшению качества распиловки, и может вывести диск из строя. Предельно допустимая частота вращения устанавливается частотой собственных колебаний пильного диска.

В работе определяется частота собственных поперечных колебаний пильного диска постоянной толщины, закреплённого по внутреннему контуру планшайбой. Предполагаем, что распределение напряжений в пиле от нагрева и центробежных сил инерции имеет осесимметричный характер. Рассматривая малые поперечные колебания пильного диска, пренебрегаем изменением напряжений в срединной плоскости пилы при колебаниях диска.

Дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний пильного диска в цилиндрической системе координат[1]:

,                    (1)

где  r, θ – цилиндрические координаты;

        – оператор Лапласа в цилиндрических координатах [2];      

                    – удельная потенциальная энергия объемных сил;

        и  – нормальные компоненты напряжения по осям  и ;

        – касательная компонента напряжения (, т.к. напряженное состояние осесимметрично);

        – плотность материала диска пилы;

        n – число оборотов диска пилы;

      t – время;

       – прогиб пластинки;

       –  цилиндрическая жесткость [2];

       Е – модуль упругости Юнга;

       h  – толщина диска;

       – коэффициент Пуассона.

При определении частот собственных колебаний диска, в качестве внешних нагрузочных факторов действующих на диск рассматриваем центробежные и тепловые нагрузки.

Напряжения от действия центробежных сил определяем по следующим зависимостям [3]: 

,                        (2)

,                        (3)

где а – радиус планшайбы;

      b – радиус пильного диска.

Для определения термомеханичеких  напряжений сперва необходимо определить тепловое поле пильного диска.

Распределение температуры по радиусу диска пилы описывается зависимостью [4]:

                   (4)

где I0, K0, I1, K1 – функции Бесселя соответственно первого и второго рода нулевого и

первого порядка аргумента;

      tВ – температура окружающей среды;

      tН – температура на наружном радиусе (b) диска;

      λm – коэффициент теплопроводности материала диска круглой пил.

Коэффициент теплоотдачи от диска воздуху α(r), определяется по формуле [4]:                               

                                                                                                   (5)

где – угловая скорость;

      с и  – коэффициенты, зависящие от вида, параметров охлаждающей среды и условий охлаждения;

      λf – коэффициент теплопроводности воздуха при температуре окружающей среды;

      νf – коэффициент кинематической вязкости воздуха при  температуре окружающей среды.

Напряжения, возникающие от неравномерного нагрева диска пилы, в радиальном и тангенциальном направлениях σr(r) и σθ(r) определяются по формулам [3]:

             

 

где αл – коэффициент линейного расширения материала круглой пилы.

Наиболее эффективным методом решения дифференциального уравнения (1) является приближённый метод Бубнова–Галеркина. Для приближенного решения задачи по данному методу задаемся выражением для прогиба в виде суммы конечного числа членов:

       

,                           (8)

где       – вариационные параметры;

             – число узловых диаметров;

             – частота собственных колебаний диска пилы;

             – безразмерные коэффициенты.

Функции (8) автоматически удовлетворяют граничным условиям на внутреннем контуре. На внутреннем радиусе диска, равном радиусу планшайбы (r=a), прогиб и угол поворота пластины равны нулю [4]:

,                                                               (9)

.                                                           (10)

Безразмерные коэффициенты  определяются из условия, что функции (8) удовлетворяют граничным условиям на внешнем контуре[4]:

,                                 (11)

.                           (12)

Подставляя функции (8) в дифференциальное уравнение (1) вариационное уравнение Бубнова–Галеркина примет вид:

.              (13)

В данном вариационном уравнении за начальный момент времени примем , а за конечный момент времени – период рассматриваемого свободного колебания , тогда вариационное уравнение перепишется в виде:

.    (14)

Вследствие независимости вариаций и множители при них должны обращаться в нуль. Это приводит к системе линейных уравнений относительно  и :

,                                                  (15)

где

Приравнивая к нулю определитель системы (15):

находим частоту собственных колебаний пильного диска.

Рассмотрим пример расчета частоты собственных колебаний для пильного диска диаметром 2b=1000 мм, диаметром планшайбы 2a=160 мм. В расчёте принимаем следующие параметры материала пилы (сталь 9ХФ): модуль упругости Юнга ; коэффициент Пуассона ν=0,27; плотность материала ; коэффициент линейного расширения материала круглой пилы . Температура окружающей среды tВ=20 0С; температура на наружном радиусе (b) диска[] tН=90 0С.  Коэффициенты, зависящие от вида и параметров охлаждающей среды и условий охлаждения с=0,0287 и =0,8; коэффициент теплопроводности воздуха при температуре окружающей среды λf=0,0259 Вт/(м2 ºС); коэффициент теплопроводности материала диска круглой пил λm=44,7 Вт/(м2 ºС); коэффициент кинематической вязкости воздуха при  температуре окружающей среды . Расчет ведем для дисков толщиной от 2 мм до 5 мм с шагом 0,5 мм и числом оборотов от 750 об/мин до 1550 об/мин с шагом 50 об/мин.

Результаты расчетов представлены в графическом виде на рисунках 1 и 2, отображающих зависимость частоты собственных колебаний рассматриваемого пильного диска от его числа оборотов и толщины для одного () и двух () узловых диаметров.

 

 

Рисунок 1. Зависимость частоты собственных колебаний с одним узловым диаметром от толщины и частоты вращения пильного диска

 

 

Рисунок 2. Зависимость частоты собственных колебаний с двумя узловым диаметрами от толщины и частоты вращения пильного диска

 

Расчет пильных дисков, рассмотренных в примерах, так же был проведен с использованием метода конечных элементов в программном комплексе ANSYS, который показал расхождение результатов не более 5%.

Максимальное число оборотов пильного диска определяется по зависимости[5]:

,                                                        (16)

где .

Таким образом, на основании представленной модели найдены зависимости частоты собственных колебаний диска пилы от его толщины и числа оборотов, используя которые, возможно определить наиболее рациональные толщину и число оборотов пильного диска с точки зрения его устойчивости.

 

Список использованных источников

 

1.      Жодзишский Г.А. Влияние напряжений от неравномерного нагрева, проковки и центробежных сил инерции на частоты свободных колебаний круглых пил: диссертация ... кандидата технических наук.- ЛТА, 1958.

2.      С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер  Пластинки и оболочки / пер. с англ.; под ред. Г. С. Шапиро. - Изд. 3-е,  М.: Наука, 1966 - 635 с. ил, табл.; 22 см.

3.      Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ./Под ред. Г.С. Шапиро. – 2-е изд. – М.: Наука, 1979, 560 с.

4.      Пашков В.К. Теплофизика резания древесины круглыми пилами: монография. Екатеринбург: Урал. гос. лесотехн. ун-т, 2007,311с. ISBN 978-5-94984-144-0.

5.      Стахиев Ю.М. Работоспособность плоских круглых пил. – М.: Лесн. пром-сть, 1989. – 384 с. ISBN 5 – 7120 – 0197 – 7.